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"Histoire de Phi - Partie 2 sur la phyllotaxie" par la Dr Mae-Wan Ho

Traduction et compléments de Jacques Hallard

mercredi 16 décembre 2020, par Ho Dr Mae-Wan


ISIAS Série Phi Partie 2

Sciences des organismes vivants - Histoire de Phi - Partie 2 sur la phyllotaxie : Notamment observation de la croissance et du développement des fleurs chez les plantes de la famille des astéracées (Composées)

Ajout d’un document sur l’angle d’or selon Wikipédia et d’un autre document écrit ainsi qu’une vidéo (11:37) sur la croissance des plantes , montrant que celle-ci est liée au nombre d’or et à la suite de Fibonacci, avec l’angle d’or et la divergence d’or.

Traduction du 16 décembre 2020 par Jacques Hallard d’un Rapport de l’ISIS en date du 03/03/2014 : « Les arrangements en spirale des éléments végétaux autour de la tige sont basés sur la proportion d’or ; se demander pourquoi, nous conduit en profondeur dans le domaine de l’esthétique et de la beauté ». Dr Mae-Wan Ho

Une version entièrement illustrée et référencée de cet article, intitulé Watching the Daisies Grow, avait été publié et accessible par les membres de l’ISIS sur le site http://www.i-sis.org.uk/Watching_the_daisies_grow.php

Note du traducteur - L’auteure Dr. Mae-Wan HO précise que la notation utilisée dans les articles de cette série est la suivante : phi (minuscule φ) est 0,618..., tandis que Phi (lettre majuscule Φ) est la réciproque qui est égale à 1,618… le nombre d’or.

Selon Wikipédia, « Phi (capitale Φ, minuscule φ ou ϕ ; en grec φι) est la 21e lettre de l’alphabet grec, précédée par upsilon et suivie par chi. Elle est l’ancêtre de la lettre Ф de l’alphabet cyrillique… Usage : comme la plupart des autres lettres grecques, le phi est parfois utilisé en dehors de son contexte alphabétique grec dans les sciences. Par exemple, en mathématiques, elle note traditionnellement le nombre d’or (1+√5)/2 (soit environ 1,618). Versions modernes de la lettre grecque phi en capitale et bas-de-casse, avec la police Times New Roman…. – Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Phi

Versions modernes de la lettre grecque phi en capitale et bas-de-casse, avec la police Times New Roman.

A titre de révision, nous suggérons au préalable de consulter cette vidéo : Le nombre d’or – Micmaths - 26 juin 2014 - Mickaël Launay – « Le nombre d’or est l’un des nombres les plus célèbres en maths ! Faisons un tour d’horizon de ses nombreux domaines d’application : rectangle et spirale d’or, pentagones réguliers, pavages de Penrose, suite de Fibonacci. La ‘vanne’ des lapins est honteusement pompée à Juliette Noureddine ! » - Source : https://www.youtube.com/watch?v=DxmFbdp7v9Q

La phyllotaxie exerce une fascination permanente

Dans l’étude des plantes, en botanique, l’une des énigmes les plus considérées est lahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Phyllotaxiephyllotaxie qui est une forme de disposition des feuilles, des fleurs, des pétales ou des fleurons autour de la tige ou d’un point central.

Ce problème avait fasciné le mathématicien britanniqueAlan Turing (1912-1954), qui fut précocement le pionnier dans le domaine des ordinateurs et de la manipulation des codes secrets. Une esquisse faite par sa mère le présente comme un enfant distrait de son jeu de cricket, en train de « regarder comment poussent les marguerites ». Malheureusement, Turing s’était suicidé avant d’avoir pu résoudre le problème [1, 2], après avoir été reconnu coupable d’homosexualité et forcé de subir ‘un traitement hormonal’. Ce n’est qu’en 2009 que le Premier ministre britannique Gordon Brown a présenté des excuses publiques officielles au nom du gouvernement britannique et c’est seulement le 24 décembre 2013, que Turing a reçu un pardon à titre posthume [3]…

La phyllotaxie spiralée et le nombre d’or

La phyllotaxie, qui se présente comme un agencement en forme d’une spirale, est fréquente chez les plantes. Un exemple est le genre de plante grasse Aeonium [une joubarbe arborescente de la famille des crassulacées, originaire des Iles Canaries] (Figure 1 [4]). Les éléments semblables à des feuilles sont disposées une par une à partir de la pointe de croissance de la tige principale, chacune avec un angle de divergence constant d, par rapport à la précédente, angle qui est souvent proche de l’angle d’or, soit 137,5°, résultant du nombre d’or φ = 1,618 ; l’angle réel est 360/1.618 = 222,5°, mais il est habituel de reconnaître le plus petit angle rentrant de 360 ‌‌à 222,5 = 137,5°.

Figure 1 - La plante Aeonium sp. montrant une phyllotaxie en spirale (à gauche) avec des éléments successifs en forme de feuilles sortant de la tige principale à un angle d’environ 137,5 °, l’angle d’or [4]

Lorsque deux ou plusieurs éléments se détachent à partir d’un seul nœud (ou niveau), on parle d’une phyllotaxie de type ‘multijuga’ : chaque spire est située avec un angle de divergence constant, par rapport au précédent.

Pour classer les modèles ‘multijuga’, nous comptons le nombre de spirales d’assemblage de chaque élément par rapport à ses voisins les plus proches. On obtient ainsi une paire de nombres, un nombre pour les spirales qui vont dans le sens antihoraire, et un autre nombre dont les spirales qui vont dans le sens horaire ; chaque paire de nombres constitue le parastiche [une ligne fictive qui relie chaque primordia à son plus proche voisin, laissant apparaître les formes spiralées).

Figure 2 – La plante Aeonium sp. présente un parastiche de type 2, 3 [4]

Ainsi, la plante Aeonium sp. sur la figure 2 a un parastiche 2, 3, du fait qu’il y a deux spirales dans le sens antihoraire (à droite) et 3 dans le sens horaire (à gauche). Les deux chiffres sont des nombres successifs de la suite de Fibonacci (voir [5] L’histoire de Phi, SiS 61) *

Lorsque les éléments sont serrés, il y a beaucoup plus de spirales. Le chou-fleur (figure 3) comporte 8 spirales dans le sens antihoraire (en rouge) et 13 spirales dans le sens horaire (en noir), ce qui donne un parastiche de type 8, 13.

Figure 3 – Inflorescence de chou-fleur avec un parastiche de type 8, 13.

La marguerite [une plante de la famille des astéracées, anciennement dénommées composées] montre des fleurons dans le centre avec 21 spirales dans le sens antihoraire et 34 spirales dans le sens horaire, ce qui donne un parastiche de type 21, 34. Ces paires sont aussi des nombres successifs de la suite de Fibonacci.

Florets in a daisy with 21, 34 parastichy (see text) - Fleurons dans une marguerite avec un parastiche de 21, 34 (voir le texte)

Et pourquoi Phi ?

Le biologiste écossais, mathématicien, [et premier biomathématicien], un savant classique typique, D’Arcy Wentworth Thompson (1860-1948)https://www.google.fr/url?sa=t&..., avait déjà établi au début du siècle dernier que l’angle entre les éléments successifs dans les spirales étroitement enroulées, se rapprochaient d’un angle de 137,5° basé sur Phi [6]. [Voir l’annexe 1 sur l’angle d’or].

[Note de ’universalis.fr’ sur THOMPSON sir D’ARCY WENTWORTH (1860-1948) -



Biologiste et helléniste écossais. Diplômé du Trinity College à Cambridge, Thompson fut professeur d’histoire naturelle à l’University College de Dundee, puis à l’université de St. Andrew pendant soixante-quatre ans. Son ouvrage principal On Growth and Form (1917, 1942, 1952) passe en revue de nombreux phénomènes physiques et naturels ; la croissance de bon nombre d’animaux y est examinée avec soin, ainsi que celle des végétaux. L’originalité de cette œuvre maîtresse est de ne pas considérer la croissance et la forme d’un animal, par exemple, comme un fait évident bien qu’inexpliqué, mais, au contraire, de poser deux questions fondamentales : pourquoi cette forme ? comment peut-on en expliquer, par des termes mathématiques et physiques, la structure et la croissance ? Il ne donne pas de solutions aux problèmes qu’il pose, mais il utilise des hypothèses de travail claires et simples, fondées sur ses connaissances en physique, chimie, zoologie. Il développe aussi une importante théorie de la transformation, théorie selon laquelle une espèce évolue en une autre non par des petits changements et variations, mais par des transformations à grande échelle intéressant le corps de l’individu tout entier. Ce type d’étude, à la fois universel, pédagogique et synthétique, n’a jamais été repris ni continué. Thompson possédait une rare érudition littéraire, artistique et scientifique, et on lui doit de nombreuses autres œuvres qui témoignent de la diversité de ses connaissances : A Glossary of Greek Birds (1895 et 1936) ; Science and the Classics (1940) ; A Glossary of Greek Fishes (1947). Il fut membre de la Royal Society (1916), en devint président de 1931 à 1933, reçut la médaille Darwin en 1946 et fut décoré par de nombreuses sociétés savantes du monde entier. Écrit par François CABANE  : docteur de troisième cycle, documentaliste à l’université de Paris-XI, laboratoire de paléontologie d’Orsay –

Thompson s’était inspiré des recherches d’Albrecht Dürer sur l’anamorphose5. Voir l’illustration - Source : https://www.universalis.fr/encyclopedie/thompson-sir-d-arcy-wentworth/ ].

Suite de l’article traduit


Mais aucune explication satisfaisante ne fut disponible pendant une longue période. Beaucoup de suggestions triviales furent proposées, notamment l’adaptation et la sélection naturelle, ou la conception par un Dieu, voire comme un agencement qui optimise la réception de la lumière pour la photosynthèse.

Une morphologie optimale

A propos de la façon adéquate selon laquelle les fleurons s’emboîtent dans le centre de l’inflorescence de la marguerite, il semblerait que l’association entre la proportion d’or et les spirales selon la suite de Fibonacci entraînent une mise en place morphologique qui s’avère optimale.

Ceci est facilement démontré en utilisant un algorithme informatique génératif qui a été développé conjointement par les équipes de recherche de Przemyslaw Prusinkiewicz à l’Université de Regina, dans l’état du Saskatchewan au Canada, d’une part, et Astrid Lindenmayer de l’Université d’Utrecht aux Pays-Bas, d’autre part [7].

D’une façon remarquable, l’agencement optimal le plus proche de la marguerite réelle est généré uniquement lorsque l’angle de divergence de 137,5° est utilisé ; lorsque l’on introduit de légères déviations de chaque côté, il en résulte des modèles très différents avec des écarts importants entre les spirales, (voir figure 4).

Figure 4 – Des motifs de phyllotaxie générés sur un disque avec un angle de divergence de 137,3° (a), de 137,5° (b) et de 137,6° (c)

Cette capacité du nombre d’or d’assurer le remplissage de l’espace est très importante, comme dans le cas des pavages de Penrose (voir [1]), et nous y reviendrons à nouveau dans des articles ultérieurs de cette série Phi Nombre d’or.

[D’après Wikipédia, « Les pavages de Penrose sont, en géométrie, des pavages du plan découverts par le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose dans les années 1970. En 1984, ils ont été utilisés comme un modèle intéressant de la structure des quasi-cristaux… - Voir un exemple de pavage de Penrose –Photo  : Roger Penrose, debout sur le pavage de Penrose du foyer de l’institut Mitchell, Texas A&M University – Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_de_Penrose ].

La proportion d’or donne également un sentiment d’équilibre et de beauté.

La croissance et le remplissage de l’espace

Cependant, l’importance de l’angle d’or n’explique toujours pas comment il se produit sans invoquer une conception divine ou son équivalent dans le néo-darwinienne avec la notion « d’avantage sélectif », car, même si la disposition particulière des feuilles et des fleurs est avantageuse pour la plante, il faut expliquer comment la forme a été générée en premier lieu.

Nous devons comprendre pour cela les bases des mathématiques, de la physique, de la chimie et de la biologie.

En 1992, les mathématiciens français Stéphane Douady et Yves Couder du CNRS (Centre national français de la recherche scientifique) à Paris avaient fait une percée dans ce sens.

[Pour en savoir plus sur ces chercheurs à l’aide de Wikipédia :

Stéphane Douady est un physicien français né le 19 octobre 1965 à Paris. Il est actuellement directeur de recherche au CNRS, membre de l’équipe « Dynamique des systèmes hors équilibre » dirigée par Éric Falcon au sein du laboratoire « Matière et Systèmes complexes » (MSC) de l’université Paris Diderot1. Spécialiste de la théorie du chaos, ce chercheur aborde des phénomènes naturels (chant des dunes de sable, spirales dans une pomme de pin...) avec son double bagage de théoricien et d’expérimentateur. Stéphane Douady a obtenu la médaille d’argent du CNRS en 20052… - Source de l’article complet

Yves Couder (né 9 janvier 1941 à Boulogne-Billancourt et mort le 2 avril 20191 à Paris) est un physicien français. Ses travaux se situent à l’interface de la physique, de la mécanique, de la biologie… - Source de l’article complet ].

Stéphane Douady et Yves Couder avaient montré que les modèles apparaissent spontanément comme le résultat d’un processus de croissance simple dans lequel les primordia apparaissent périodiquement près de l’extrémité de la pousse [méristème] et qu’ils sont repoussés (advection) du centre lorsque la pointe s’allonge [8] (ou peut-être de manière équivalente, avec l’augmentation du diamètre).

Les éléments identiques sont générés avec une périodicité T pour un rayon R donné du centre 0 et ‘advectées’ à la vitesse V0, et il existe une répulsion entre eux, de sorte que de nouveaux éléments apparaîtront, dans la mesure du possible, à partir de la précédente. Les résultats pourraient être interprétés avec une équation simple constituée d’un seul paramètre (sans dimension) : G = V0 T / R0.

Pour modéliser le processus physique, Douday et Couder * avaient mis en place une boîte de Pétri avec un cône central rempli avec de l’huile de silicone visqueuse, et ils avaient versé des gouttes de ferrofluides * sur le cône, qui étaient ‘advectées’ vers la périphérie par un champ magnétique (Figure 5).

[* On peut consulter le document suivant : Expérience de Douady et Couder - YouTube] - Des gouttelettes de ferrofluide magnétisées tombent dans un contenant d’huile de silicone. Les gouttelettes sont attirées vers le bord de la piscine et se repoussent. Lorsqu’elles tombent lentement, les gouttelettes se déplacent dans des directions exactement opposées les unes aux autres. Mais lorsque la vitesse augmente, ils s’éloignent les uns des autres à l’angle d’or, formant finalement des spirales].

Figure 5 - Schéma de la zone de croissance avec les promordia successifs (a), et le modèle expérimental du procédé (b) (à partir de la référence [8])

Lorsque l’advection est forte, chaque goutte est repoussée par la précédente et va à l’opposé (180°). Mais lorsque G diminue (un ralentissement de l’advection ou de manière équivalente, lorsque la période comprise entre les primordia se raccourcit), chacune des gouttes sera influencée par les deux précédentes, et iront se placer dans l’espace qui les séparent, à un angle de 150°.

Lorsque G diminue encore, chaque goutte sera influencée par les trois gouttes précédentes ou plus, et l’angle se ramène à 139°, qui est tout proche de l’angle d’or, lorsque les spirales de Fibonacci prennent les valeurs 3 et 5.

A la limite, le processus se rapproche de la proportion d’or. Cela finit par remplir la totalité de l’espace disponible, en créant une structure d’énergie d’interaction globale qui est minimum, réalisant un équilibre naturel entre des forces et des tensions opposées, ce qui est le cas quand la beauté, une certaine esthétique se manifeste.

Ces travaux de recherche montrent également que le processus donne des résultats fiables quels que soient les détails des mécanismes biologiques ou physiques, car les caractéristiques dehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fiabil...fiabilité, de robustesse et de généricité sont intimement liées à l’état d’équilibre et à l’équilibre dynamique qui sont traduits par la proportion d’or : ce genre de beauté et d’élégance qui séduit aussi bien les scientifiques et que les mathématiciens.

Les résultats ont également été simulés avec succès par ordinateur et ils peuvent être utilisés comme le système le plus naturel pour classer les plantes et les animaux, comme l’avait pensé et proposé le botaniste et médecin suédois Carl von Linné (1707-1778) et des générations de taxonomistes qui avaient travaillé sur ce sujet après lui [9].

Références

  • Swinton J. Watching the daisies grow : Turing and Fibonacci phyllotaxis. http://www.dcc.ufrj.br/~luisms/turing/swinton.pdf
  • Saunders PT. ed. Collected Works of A.M. Turing : Morphogenesis, North Holland, Amsterdam, 1993.
  • Alan Turing, Wikipedia, 6 January 2014, http://en.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing
  • Gupta R and Saxena K. Nature’s trademark – Phi. A review report on the occurrence of the golden ratio in nature. Biological Sciences and Bio engineering http://www.iitk.ac.in/bsbe/web%20on%20asmi/Nature%20finally.pdf
  • Ho MW. The story of phi. Science in Society 61 .
  • Thompson D’Arcy. On Growth and Form, Cambridge University Press, Cambridge, 1917.
  • Prusinkiewicz P and Lindenmayer A. The Algorithmic Beauty of Plants, The Virtual Laboratory, Springer Verlag, New York, 1990, electronic version 2004
  • Douady S and Couder Y. Phyllotaxis as a physical self-organized growth process. Physical Review Letters 1992, 68, 2098-101.
  • Ho MW and Saunders PT. Rational taxonomy and the natural system as exemplified by segmentation and phyllotaxis. In Models in Phylogeny Reconstruction, The Systematics Association Special Volume No. 52 (RW Scotland, DJ Siebert and DM Williams, eds.), pp.113-24, Clarendon Press, Oxford, 1994.
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Ajout


L’angle d’or selon Wikipédia

L’angle d’or est un angle valant (3 – racine de 5)( 3 − 5 ) \displaystyle (3-\sqrt 5) fois l’angle plat, soit environ 137,51°. Il est lié au nombre d’or.

L’angle d’or est sous-tendu par l’arc b quand a b = φ \displaystyle \frac ab=\varphi a / b = φ
(φ étant le nombre d’or).

Sommaire

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La croissance des plantes - « Dans cette partie, nous verrons que le nombre d’or, la suite de Fibonacci et la croissance des plantes sont très liés ».



Angle d’or et divergence d’or

La croissance d’une plante se fait par les extrémités, dans une zone composée d’une multitude de cellules indifférenciées qui se divisent puis se spécialisent : cette zone est l’apex. Tout autour, de minuscules excroissances se forment, qui deviendront les futurs organes de la plante (branches, fleurs, feuilles, etc...) : ce sont les primordia.

En étudiant la répartition des feuilles autour de la tige, on constate qu’elle se fait selon trois schémas fondamentaux : une feuille par nœud , deux feuilles par nœud, trois feuilles ou plus par nœud (un noeud est une zone d’embranchement, d’où partent des feuilles, branches ou fleurs).

Parmi les plantes à une feuille par nœud, il existe les spiralées : les feuilles apparaissent une à une le long de la tige en formant des spirales. Sur ces plantes, chaque primordium s’écarte de l’apex et, finalement, se transforme en une feuille ou un pétale. La spirale engendrée par les primordia dans l’ordre de leur apparition est appelée spirale génératrice, les primordia les plus anciens étant les plus éloignés du centre.

En 1837, Auguste Bravais et son frère Louis, observèrent un détail essentiel. Ils tracèrent les demi-droites qui joignent le centre de l’apex au centre des primordia et mesurèrent les angles séparant deux primordia successifs vus de l’apex. Les angles entre les centres de deux primordia approchent les 137°10’, c’est à dire la divergence d’or.

Cette image représente la répartition des primordias en partant de l’apex : celle du milieu est tracée avec une divergence (angle entre deux primordia) égale à la divergence d’or ; les deux autres en diffèrent de moins d’un degré.

http://plantes.maths.tpe.free.fr/spirales.jpg

Si en regardant la tige d’une spiralée par le côté de l’apex, on observe la disposition des feuilles, on remarque qu’après un certain nombre de tours parcourus le long de la spirale génératrice, une feuille se retrouve exactement en dessous de la première feuille que l’on observe.

On peut alors :
- compter le nombre de feuilles situées après la première (c’est la n° 0, donc on ne la compte pas) jusqu’à parvenir à la feuille qui est exactement alignée avec la première (n° x).
- compter le nombre de tours que fait la spirale génératrice autour de la tige entre ces deux feuilles de référence (y).

Toute les plantes à phyllotaxie de type « spirale » ont des fractions x / y égales à 2 / 1 ou 3 / 1 ou 5 / 2 ou 13 / 5 ou 21 / 8 ou 34 / 13, etc.

Les numérateurs et les dénominateurs de toutes ces fractions appartiennent à la suite de Fibonacci.

Exemple de quelques répartitions : 

http://plantes.maths.tpe.free.fr/feuillesbas.gif

Explication de la présence du nombre d’or chez ces plantes

La présence du nombre d’or dans la phyllotaxie des plantes a suscité de nombreuses investigations. La première explication a un lien avec l’ensoleillement : « Si les feuilles (et par conséquent les rameaux) d’une plante étaient espacées sur la tige par des intervalles d’exactement 137°30’ 28’’, aucune feuille ne se situerait exactement au-dessus d’une autre, ce qui diminuerait l’ombre portée par cette feuille sur les autres situées plus bas » (Bell, 1993, p222). Il y a donc là une première règle d‘optimisation de la collecte des photons, optimisation qui pourrait s’être mise en place au cours de l’évolution.

Mais pourquoi l’angle de divergence est-il égal à l’angle d’or ? Pour le découvrir, il faut revenir au début de la croissance de la tige, lorsqu’elle n’était qu’un bourgeon. Au cours de la croissance, l’apex croit en gardant la même forme, mais les primordia ne croissent pas aussi vite et s’éloignent donc de l’apex ; c’est dans cet espace, entre les primordia et l’apex, que de nouveaux primordia apparaissent. Cependant ceux-ci gardent tout au long de la croissance la disposition qu’ils avaient initialement.

Les règles d’apparition des primordia sont partagées entre deux hypothèses :

 Le critère de W. Hofmeister, selon lequel les primordia apparaissent à intervalle régulier dans le plus grand espace disponible laissé par les primordia précédents.

 Le critère de Marie et Robert Snow, selon lequel un nouveau primordium apparaît dès qu’il s’est formé un espace libre de taille suffisante. Ce critère a l’avantage d’expliquer le mode spiralé et le mode verticillé.

Prenons le cas d’une plante verticillée où les feuilles poussent par paires opposées, l’apex ressemble alors à ceci :

http://plantes.maths.tpe.free.fr/apex1verticille.gif

Lors de la croissance, selon le critère Snow, on obtient :

http://plantes.maths.tpe.free.fr/apex2verticille.gif

D’où la formation de paires de feuilles. Mais si on incise l’apex, il se produit un décalage dans la disposition et comme l’a expérimenté le couple Snow, on obtient une plante spiralée :

http://plantes.maths.tpe.free.fr/apexcoupe.jpg

Pour expliquer comment chaque primordium connaît quelle est la plus grande place disponible ou quand la place est de taille suffisante, le mathématicien Alan Turing a émis l’hypothèse que chaque primordium émet autour de lui une substance inhibitrice empêchant la formation d’autres primordia à sa périphérie.

En simulant numériquement l’apparition des primordia à partir du critère d’Hofmeister, Stéphane Douady et Yves Coudier ont mis en évidence que l’angle de divergence dépendait fortement d’un facteur appelé G.
G = vT/Ro
Où :
v est la vitesse d’éloignement des primordia par rapport à l’apex
T est la périodicité d’apparition des primordia
Ro le rayon où elles apparaissent.

En résumé, lorsque la valeur de G est grande, les primordia s’éloignent rapidement de l’apex et/ou le temps d’apparition entre deux primordia est long :

http://plantes.maths.tpe.free.fr/formationprimordia.gif

Lorsque G baisse jusqu’à la valeur 0.7, chaque nouveau primordium ressent l’influence de deux primordia, et vient former un angle qui se rapproche de l’angle d’or. Donc à chaque fois que G a diminué au point que chaque nouveau primordium ressente l’influence d’un primordium supplémentaire, l’angle de divergence tend un peu plus vers le nombre d’or, ceci s’appelle une brisure de symétrie.

Lors de la première brisure, le primordium peut apparaître à deux endroits, mais une fois apparu, la position choisie forcera les primordia suivants à apparaître selon une spirale tournant à droite ou à gauche. D’ailleurs dans la nature on trouve autant de plantes dont la spirale génératrice (spirale reliant les feuilles d’une tige dans leur ordre d’apparition) tourne vers la droite que vers la gauche. Normalement, il existe à chaque brisure de symétrie un deuxième angle de divergence possible mais mis à part pour la première brisure de symétrie (cf. ci-dessus), seul l’angle qui tend vers la section d’or est possible si G diminue progressivement.

Par contre, si G diminue brutalement, les autres changements d’angle de divergence sont possibles. Or, chez les plantes, le facteur G diminue progressivement au cours de la croissance : il est fort lorsqu’elles germent puis il décroît lorsque les premières feuilles apparaissent, et la floraison s’accompagne également de la diminution de la valeur de G. C’est pourquoi l’angle de divergence tend vers l’angle d’or.

Parastiches, pétales et suite de Fibonacci

De nombreux végétaux présentent des spirales apparentes à l’œil nu, comme les hélice formées par les écailles d’un ananas ou d’une pomme de pin ou les aiguilles d’un cactus. Ces spirales sont appelées parastiches. Il existe deux types de parastiches : celles qui tournent dans le sens direct et celles qui tournent dans le sens indirect (sens des aiguilles d’une montre). S’il on compte le nombre de parastiches tournant dans un sens et dans l’autre, on trouve deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci ; de plus l’étude de ces spirales a permis de conclure qu’elles étaient logarithmiques.

http://plantes.maths.tpe.free.fr/parastiches1.gif

Ainsi, pour l’ananas, on compte 8 parastiches dans le sens indirect et 13 dans le sens direct, pour la pomme de pin 5 et 8 et selon les variétés de tournesols, 21 et 34, 34 et 55, 55 et 89, voir 89 et 144. On trouve rarement d’autres nombres, les exceptions les plus notables les doubles de ces nombres.

Souvent, chez les fleurs dont les pétales sont disposés en hélice autour du cœur on trouve des nombres de Fibonacci. Les lys ont 3 pétales, les boutons d’or 5, la plupart des soucis 13, les asters 21.

Le nombre d’or est lié à une spirale logarithmique. On sait qu’une spirale logarithmique (ou hélice) peut s’étendre indéfiniment vers l’extérieur ou vers l’intérieur. Elle garde donc toujours la même forme, indépendamment de sa dimension. La forme est conservée, quelle que soit la taille.

On voit donc que lorsque les éléments tous semblables d’une structure modulaire, ici les primordia, les pétales, etc..., grandissent sans changer de forme, les restructurations permanentes qu’ils subissent pour minimiser les contraintes de compression tendent à les organiser le long de spirales logarithmiques. Le calcul du nombre de spirales dans un sens puis dans l’autre mène à des couples de nombres entiers qui font partie des séries de Fibonacci.

Par exemple, dans le cas de la marguerite, les bourgeons floraux ont tous la même forme (ce sont de simple tubes de section circulaire), mais pas la même taille. Ils s’auto organisent au fur et à mesure de leur croissance selon des spirales logarithmique centrifuges. On peut faire alors les mêmes observations sur une pomme de pin, les éléments modulaires changent de taille sans changer de forme.

Conclusion

On peut donc conclure que la croissance et l’organisation des plantes sont bâties sur des principes mathématiques (suite de Fibonacci, nombre d’or) qui sont l’expression optimale des gènes de la plante.

Source : http://plantes.maths.tpe.free.fr/croiss.htm

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Spirales végétales, le nombre d’or dans les plantes (Fibonacci et fractions continues) – Vidéo 11:37 - 19 juillet 2014 - Sciencesilencieuse

Certaines plantes présentent une disposition en spirales de leurs éléments (feuilles, pétales, écailles...). Si on les compte, on obtient toujours 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 spirales, tous des termes de la suite de Fibonacci. Si on mesure l’angle entre deux éléments, on trouve l’angle d’or. C’est évidemment la source de nombreux fantasmes et explications farfelues. Comment la nature peut-elle faire des maths ? Mais ces dispositions émergent tout naturellement de règles de croissance très simples... Pour approfondir : le premier et jusqu’ici unique chapitre de https://itunes.apple.com/us/book/3-pe... ou http://cordier-phychi.toile-libre.org...

Source : https://www.youtube.com/watch?v=_V4GjyvDTfI

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Traduction, inclusion de compléments, de figures et de liens hypertextes donnant accès à des informations plus
détaillées : Jacques Hallard, Ing. CNAM, consultant indépendant. Relecture et corrections : Christiane Hallard-Lauffenburger, professeure des écoles. Adresse : 585 Chemin du Malpas 13940 Mollégès France

Site ISIAS : http://isias.lautre.net/ - Courriel : jacques.hallard921@orange.fr

Fichier : ISIAS Série Phi Partie 2 version 3

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